Учимося розв’язувати текстові задачі. Перші кроки з учнями 7-х класів

Вивчення математики в школі є не самоціллю, а засобом формування в учнів математичних способів мислення, вміння аналізувати, моделювати, здійснювати логічні кроки міркування з розумінням їх змістовного наповнення. Текстові задачі — один із найважливіших розділів шкільної математики, оволодіння яким сприяє формуванню в учнів логічного мислення, вміння здійснити моделювання умови, застосовувати математичні способи мислення до задач життєвого спрямування. Оволодіння цим розділом важливе не тільки для подальшого вивчення природничо-математичних наук, а ще й для розвитку особистості учня, бо сприяє вмінню вирішувати задачі дорослого життя. Ця стаття — спроба відповісти на запитання з чого саме почати роботу над подоланням вказаної проблеми.

Якщо ви власними силами розв’язали задачу, ви зробили відкриття. Якщо задача нескладна, то ваше відкриття не може претендувати на грандіозність; проте воно від цього не перестає бути відкриттям. Д. Пойя

Текстові задачі діти починають розв’язувати ще у початковій школі. Проте далеко не всі учні 5—9‑х класів саме розв’язують такі задачі, більшість намагається вгадати алгоритм дій без розуміння його змісту. Якось, у розмові з ученицею шостого класу на прохання пояснити, як саме вона розв’язує такі задачі, дівчинка відповіла таке. Якщо маємо два великих числа — треба від того, що є більшим відняти те, що є меншим; якщо маємо два маленьких — їх треба перемножити; середні — додати; велике поділити на маленьке й зазирнути у Відповідь:  Якщо переглянути підручники з математики 5—6-х класів, неважко переконатися, що такий «спосіб» приводить до правильної відповіді для більшості пропонованих задач.

Для того щоб обмірковано розв’язувати текстові задачі, учням необхідно оволодіти вміннями:

• моделювати й записувати математичною мовою твердження про співвідношення між величинами;
• в умові задачі виділяти окремі твердження;
• сприймати умову й у випадку, коли значення величин задано літерами, а не числами;
• не випускати з полі уваги всі твердження умови задачі;
• формулювати запитання й відрізняти їх від версій.
• Далі будемо розглядати методику формування відповідних умінь учнів.

 І. Формування поля уваги учня

Спочатку зупинимося на питанні розвитку уваги школярів.

Психологи розрізняють два види уваги: примусову та непримусову.

Примусову увагу людина тримає тоді, коли зовнішні обставини примушують її до цього. Здорова доросла людина, за твердженнями психологів, тримає примусову увагу близько 15 хвилин.

Непримусова увага — це безпосередня зацікавленість, захоплення певною темою або діяльністю. Таку увагу людина може тримати значно довше.

Наприклад, якщо людині, якій не цікава біологія як наука, запропонують слухати лекцію з біології з відповідними термінами й класифікаціями (мотивуючи це, наприклад, штрафними санкціями), то вона протримається близько 15 хвилин, а далі однаково думатиме про своє.

Дитина 12—14 років тримає примусову увагу близько 5 хвилин. Саме тому доцільно пропонувати учням самостійні роботи з розрахунку на 5 хвилин виконання; протягом уроку з інтервалами 3—7 хвилин змінювати види роботи з учнями.

Колись я повела групу дітей 10—14 років у похід. Через 15—20 хвилин від початку переходу починалося скиглення: «Ми втомилися!», «Коли привал?», «Хочемо пити!», «Ніжки болять!»… Якщо «привалити», то діти починали стрибати — ніжки не втомлені, нічого не болить. Тоді я почала супроводжувати переходи казковими розповідями про все навколо. За таких умов час переходу замість стандартних 30—40 хвилин збільшився до 45—60 хвилин без усякого примусу з мого боку.

Зрозуміло, що вказані види уваги перетинаються. Якщо розвивати в дитині непримусову увагу, то відбувається одночасно й розвиток її цілеспрямованості, наполегливості, волі, а, отже, і примусової уваги.

Майстерність вчителя полягає в тому, щоб побудувати урок з максимальним використанням непримусової уваги й певними інтервалами напруження примусової уваги — самостійних робіт із відображення певних опорних конспектів, «колекційних» задач, завдань на використання опорних фактів, математичних диктантів тощо.

Можна залучати до роботи й елементи психологічних тренінгових занять. Такі заняття мають бути короткими, від 3 до 5 хвилин.

Наприклад, корисно почати урок із тренування уваги й короткочасної пам’яті. Вчитель зачитує певні слова один раз (повільно й чітко). Доки він читає, ніхто з учнів нічого не пише. Закінчивши, учитель подає знак (рукою) і діти починають писати вказані слова у довільному порядку мовчки (щоб «не злякати» короткочасну пам’ять сусіда) — про це треба домовитись до початку тренінгу. Коли більшість виконали завдання, учитель наводить слова ще раз — учні перевіряють, хто скільки слів запам’ятав.

Починати треба з 5—6 слів. Не забудьте похвалити тих, хто написав усі слова або на одне-два слова менше, ніж було запропоновано, та вербально підтримати інших (завтра зосередитесь і буде більше). Зрозуміло, що поступово вчитель збільшує кількість пропонованих для запам’ятовування слів, їх може бути й більш ніж 20 (я доходила до 18). Така вправа займає 1—2 хвилини уроку. За описом тренінгу максимальна кількість пропонованих слів — 24.

Відбувається тренування не тільки уваги й короткочасної пам’яті, а й здатності до вербального сприйняття інформації й уяви учнів (для запам’ятовування вони починають пов’язувати слова сюжетною лінією), дуалізму мислення (вміння робити дві справи одночасно). З власного досвіду я знаю, що учні, у роботі з якими системно використовувався цей тренінг, потім не мали проблем із конспектуванням у вишах, коли треба сприймати нову інформацію й записувати за лектором одночасно.

Зауважимо, що необхідні для проведення тренінгу три хвилини, можна зекономити, якщо учні ще вдома запишуть у зошиті дату та словосполучення «Класна робота». Зазвичай діти не забувають це робити — емоційний стимул. Зате скільки задоволення отримує учень, коли після запису «Класна робота» пише, наприклад: слон, черевики, сонце, пес, квітка, пісня.

На підсумок зауважимо таке. За віковою психологією в дітей обмін речовин швидший за обмін речовин дорослого, тому сприйняття часу також інше. Для дитини час тягнеться значно довше. Пригадайте, коли ми були дітьми, то проміжок часу, наприклад, між днями народження або новорічними святами здавався нам значно довшим, ніж зараз. Як довго тягнулися 45 хвилин уроку, коли ми навчалися в школі! А тепер, коли ми самі вчителюємо, урок пролітає так швидко, що незрозуміло, чому це діти втомлюються. Чим більше нам років, ти швидше плине для людини час.

Для дітей 1—2 хвилини уроку — значний час, за який можна багато встигнути, зокрема переключити увагу на те, що треба вчителю. Пропонований тренінг не тільки сприяє розвитку уваги, пам’яті, дуалізму мислення та уяви учнів, а ще й допоможе вчителю, без жодного з його боку тиску, залучити учнів до проведення уроку. Якщо математика — перший урок за розкладом, то клас прокидається. Якщо не перший, то увага дітей з особистих проблем спілкування («хто в кого кинув кедами на фізкультурі») переключиться на вчителя без усякого примусу й можна буде перейти до серйозної роботи.

 ІІ. Вчимося формулювати запитання через гру

Для того щоб навчитися розв’язувати текстові задачі, насамперед, треба навчитися формулювати запитання та виокремлювати з них основні.

Учні моєї першої вчительки (це було 50 років тому) по закінченні початкової школи не мали проблем із розв’язуванням текстових задач. Метод навчання був дуже простий: формулювати письмово запитання, що відповідають кожній наведеній учнем арифметичній дії розв’язання. Інколи розв’язання містило до 12‑ти запитань!

Сьогодні, зазвичай, учні початкової школи розв’язують задачі «підбором». Вони жонглюють числами з умови задачі, поєднуючи їх вивченими арифметичними діями. Тобто моделювання розв’язання підміняється версією відповіді.

Пропонована далі гра вчить учнів шукати розв’язок проблеми через формулювання запитань, поступово звужуючи коло пошуку.

Методика навчальної гри у магічні запитання

Ведучий (вчитель) формулює певну ситуацію. Учні повинні з’ясувати, що саме відбулося. Учні ставлять запитання, на які ведучий має право відповідати лише «так» або «ні». Кількість версій відповіді на кожне запитання — не більш ніж три (учитель позначає на дошці три позначки і закреслює їх відповідно до пропонованих учнем версій).

Як приклад можна навести учням ситуацію: «Вона зустріла його. Він запитав її. Відбулася всесвітньо відома літературна трагедія». Запитання можуть бути такими:

1. «Це були люди?» (Ні).
2. «Один з них людина?» (Так).
3. «Один з них привид?» (Ні).
4. «Один з них тварина?» (Так).
5. «Це казкова історія?» (Так).
6. «Це казка Шарля Перо?» (Так).

Відповідь:  Казка «Червоний Капелюшок».

Учні спочатку «працюють» версіями (метод «спроб»), проте швидко адаптуються й уже на третій-четвертій ситуації починають чітко формулювати запитання. Тоді треба обмежити кількість запитань: поставити на дошці, окрім трьох позначок-версій, біля 10 рисок, які вчитель закреслює відповідно до запитань. Тепер учні починають міркувати, що саме доцільно запитати, намагаються не повторювати поставлені раніше запитання. На цій стадії доцільно дати можливість учням обговорювати план дій. Щоб обговорювання проходило не всіма одночасно, можна за командою вчителя (наприклад, сплеск у долоні) зсунути дві парти, довкола яких розмістяться 6—8 учнів, і запропонувати попрацювати групами.

Наступна фаза ускладнення гри — формулюємо ситуацію лише один раз. Це привчає учнів уважно слухати умову, виокремлювати та тримати в полі уваги дані та є чудовим тренінгом уваги учнів. Формулюйте умову чітко та повільно, але лише один раз. Дозвольте учням, за їхнім бажанням, робити письмові позначки, проте не перетворюйте подавання умови на диктант.

Таку гру раджу проводити наприкінці уроку, в останні 3—5 хвилин. Коли на початку заняття учні запитують: «Сьогодні будемо грати?», учитель відповідає: «Так, якщо встигнемо виконати все заплановане!». Тепер учителю можна втішатися старанністю учнів.

Порада. Запропонуйте учням складати свої ситуації. Проте, перш ніж вони озвучать їх перед класом, доцільно вислухати пропозиції і, можливо, скорегувати їх або повернути на доопрацювання.

Наведемо приклади кількох ситуацій, складених моїми учнями.

 Завдання 1

Знайдіть розв’язок, формулюючи запитання, на які ведучий може відповідати лише «так» або «ні».

1. Горобець не зміг перелетіти через річку. Що йому завадило? (То була людина на прізвище Горобець).
2. Казковий герой. Ні рук, ні ніг, а співає. Хто це? (Колобок).
3. Одній дитині виклали на стіл картки з цифрами від 1 до 7, перетасували їх, вимкнули світло у кімнаті. Дитина за хвилину розклала картки у порядку від 1 до 7. Як це їй вдалося зробити?(Вимкнули світло, бо був день. За денного світла дитина легко розклала картки, бо вже знала цифри й уміла рахувати).
4. Черепаха повзла по прямій на північ зі швидкістю 100 метрів на годину. Проте за дві години вона проповзла 1200 км на південь. Як таке може бути? (Черепаха повзла в салоні літака, що летів на південь).
5. В індійському місті пограбували ювелірну крамницю. Сигналізація не спрацювала, двері ніхто не відчиняв, зникло золоте кольє. Поліція виставила спостереження за всіма входами. Але наступного дня з’ясувалося, що зникла ще одна прикраса. Маленька дівчинка допомогла знайти награбоване. Хто злодій? (Ворона. Це реальна історія).
6. Одна людина жила на 16 поверсі багатоповерхового будинку. Зранку, коли вона виходила на роботу, то завжди спускалася ліфтом. Коли ця людина поверталася з роботи, то інколи піднімалася до свого поверху ліфтом, а інколи доїздила лише до 10 поверху, а далі йшла пішки. Поясніть ситуацію. (Людина — карлик, який дотягується лише до кнопки 10-го поверху. Тому, якщо вона сама в ліфті, далі вимушена йти пішки).
7. Вона його запитала: «Ти мене кохаєш?». Він відповів: «Так!». Вона впала й розбилася. Що трапилося? (Вони були циркачі, повітряні гімнасти, він тримав трапецію в зубах.)
8. Він повернувся додому, відчинив двері й побачив, що на підлозі вода, частинки скла, а улюблена Мері мертва. Що трапилося? (Мері — золота рибка. Кішка намагалася дістати рибку й перекинула акваріум).
9. Він прийшов до неї й подарував квіти. Вона поставила квіти у вазу, вони пішли в кіно. Коли повернулися, то квітів у вазі не було. Що трапилося? (Це було в селі, ваза стояла на підвіконні, вікно було відчинене. Корова з’їла квіти).
10. Людина стрибнула з літака, впала на землю, проте не розбилася. Як таке може бути?(Літак стояв на землі).
11. Іванко показав фокус на свій день народження. Він заявив гостям, що ніхто не зможе випити води зі звичайної зеленої пляшки, хоча перед тим, як зустрічати гостей, він наповнив її водою. І справді, жоден не зміг цього зробити. Розгадайте фокус! (Іванко налив воду за годину до зустрічі й поставив її в морозилку. Вода в пляшці була. Але у вигляді льоду).
12. Буває таке, що на плавців нападають акули, спрути або крокодили. Проте один плавець ледь не загинув від звичайного горобця! Що трапилося? (Плавець дихав через трубку. Горобець сів відпочити на трубку, плавець ледь не задихнувся).
13. Увечері чоловік відчинив двері, зайшов до кімнати. У цей час повз дім проїхала вантажівка й фарами освітила годинник, який висів над ліжком. Чоловік вибіг із квартири й зателефонував у поліцію: «У мене в квартирі бомба!». З’ясувалося, що то була правда. Як чоловік встановив це? (Побачив, що годинник стоїть, а з-під ліжка чутно цокання годинника).
14. Хлопчина їхав лісом, почув свист, зупинився, ужив заходів і поїхав собі далі. Проте, ніхто до того та після того в цьому лісі свисту не чув. Що трапилося? (Хлопчина їхав велосипедом, проколов шину, відремонтував колесо та поїхав далі).
15. Одне око, один ріг, але то не носоріг. Хто це? (Корова виглядає з-за дверей сараю).
16. Мисливець підкрадався до дичини, був готовий вистрелити, проте раптом сам впав жертвою полювання. Що трапилося? (Він надягнув заради маскування костюм ведмедя, а інший мисливець сплутав його з ведмедем та поранив).
17. Каскадер надійно підготувався до ризикованого трюку. Мотузки не розірвалися, вузли не розв’язалися, проте він упав. Що трапилося? (Доки каскадер снідав, сидячи за столом, його товариш зв’язав йому шнурки черевиків. Тому, намагаючись вийти з-за столу, той упав).
18. Дмитро Захарович переніс складну операцію, проте на другий день він був здоровий і вийшов на роботу. Як таке може бути?(Дмитро Захарович — хірург. Він переніс проведення операції на інший день).
19. Вона стежила за ним. Коли він зник, вона зняла маску й сказала: «Все скінчилося». Поясніть ситуацію. (Вона — лікар, стежила за пульсом хворого).
20. Кореспондент французької газети «Вечірній Париж» П’єр Навру був відомий тим, що часто випереджував інших журналістів у сповіщенні новин до редакції своєї газети. Як він це робив? (Події розгорталися в 70-ті роки ХХ сторіччя, коли найшвидше повідомлення можна було продиктувати по стаціонарному телефону. П’єр Навру носив у портфелі табличку з написом «Телефон не працює» й у потрібний момент вішав її на найближчий телефон-автомат. Доки інші журналісти бігали у пошуках іншого телефону, він сповіщав новини до редакції).
21. Кажуть, що колись один батько-шинкар, Марко Ароні, спостерігав за грою своєї доньки. Він дивився, як та розвішує щось на мотузці. Невдовзі цей шинкар став одним із найзаможніших в Італії. Чому? (Дівчинка розкатувала тісто довгими тонкими трубочками й сушила на мотузці. Батько зварив трубочки й став винахідником макаронів).
22. Під час однієї із середньовічних воєн вороги оточили французьке місто Майон. Саме завдяки цій облозі виник один із найвідоміших кулінарних рецептів на Землі. Який і чому? (Для ремонту кріпосних стін захисники Майона використовували білки яєць, змішуючи їх із піском, вапном та іншими будівельними матеріалами. Правитель міста герцог Рішельє наказав кухарям із жовтків, що залишаються, приготувати якийсь соус. Так виник майонез).
23. Колись один студент вклав у Сонце 400 грн, а через три дні купив собі новенький автомобіль. Що це був за бізнес? (Наближалося затемнення Сонця. Студент купив на кіностудії 20 км засвіченої плівки, поїхав на пляж і продавав скріплені попарно два шматочки плівки.За три дні він продав 15 км плівки й заробив достатню для купівлі автомобіля суму).
24. Капітан стародавнього англійського китобійного судна Джеймс Кукиш, коли виходив у море, завжди брав на судно свиню. Навіщо?(Судно мало проходити крізь тумани. Свиня голосно верещала, попереджаючи інші кораблі про місце розташування китобійного судна).

 ІІІ. Вчимося моделювати алгебраїчні вирази та співвідношення між величинами

Зазвичай змоделювати умову текстової задачі — означає виділити в умові співвідношення порівняння й записати їх математичною мовою, тобто подати у вигляді виразу.

Для цього учні повинні навчитися записувати порівняння величин у вигляді алгебраїчного рівняння (нерівності).

Розглянемо тренувальні вправи, у яких треба записати за текстовим формулюванням вирази у вигляді математичних співвідношень та навпаки: подати математичні вирази у вигляді життєвої ситуації.

Зауваження. Перевірено на практиці: якщо час від часу закінчувати урок грою у запитання, а починати урок з диктанту на запам’ятовування, то через 3—4 місяці можна перейти до розв’язування текстових задач за збіркою під редакцією М. І. Сканаві. І нічого страшного, що малеча ще не вміє розв’язувати квадратні рівняння та системи рівнянь. Вважаємо, що робота виконана, якщо учні правильно записали (відповідно до умови) рівняння або систему рівнянь і їх кількість дорівнює кількості невідомих. Розв’язувати їх ми навчимо учнів пізніше.

Завдання 2

•  Запишіть математичною мовою такі алгебраїчні вирази. (Завдання можна подати на уроці у вигляді математичного диктанту. Промовляйте умову чітко, повільно, але лише один раз).

1. Півсума чисел а і с.
2. Піврізниця чисел m і n.
3. Потроєна сума чисел р і х.
4. Чверть різниці чисел с і k.
5. Потроєний добуток чисел а і b.
6. Подвоєна сума числа с і піврізниці чисел а і b.
7. Подвоєний добуток числа х і півсуми чисел а і с.
8. Чотири п’ятих числа а.
9. Дві четвертих числа m.
10. Три сьомих добутку чисел а і с.
11. Половина різниці числа с і добутку чисел а і b.
12. Добуток половини числа с і третини числа b.
13. Півсума числа р і добутку чисел а і с.
14. Дві третини від суми добутку чисел р і с та числа m.
15. Піврізниця півсуми а і с та добутку m і n.
16. Потроєний добуток піврізниці чисел m і n та півсуми а і с.

•  Прочитайте алгебраїчні вирази:

• Запишіть у вигляді алгебраїчної нерівності:

1. Число а менше від 5.
2. Число n більше за 12.
3. Число b менше від m.
4. 15 більше за число х.
5. Число y більше за 20, але менше від 25.
6. Число b більше за подвоєний добуток чисел m і n.
7. Число х менше від 8, але більше за 2.
8. 18 більше за n, але менше від m.
9. Число х менше від піврізниці чисел а і b.
10. Число р більше за дві третини числа с.
11. Число y більше за m, але менше від n.
12. Число х більше за півсуму чисел m і n, але менше від с.
13. Число р менше від добутку чисел а і b, але більше за їх суму.
14. Півсума чисел а і b менша від потроєного добутку чисел р і с.
15. Чверть добутку чисел m і n більша за третину суми чисел а і р.

•  Запишіть у вигляді алгебраїчної рівності.

1. Півсума чисел а і с дорівнює п’яти.
2. Піврізниця чисел m і n дорівнює b.
3. Потроєний добуток чисел а і b дорівнює добутку m і n.
4. Подвоєна сума чисел с і b дорівнює піврізниці чисел а і b.
5. Дві третини числа с дорівнюють сумі чисел m і n.
6. Різниця добутку чисел m і n та числа с дорівнює третині суми чисел а і b.
7. Якщо до числа х додали 38, то отримаємо число удвічі більше за х.
8. Число m помножили на 4, від результату відняли 72 і отримали число удвічі більше за m.
9. Якщо від числа а відняти число b і отриманий результат збільшити в 3 рази, то отримаємо 96.
10. Число z помножили на 6, до результату додали суму чисел х і 9, отримали 44. 

Потренуємося переходити від одних одиниць вимірювання до інших. Перейти до інших одиниць вимірювання допоможе запис за таким зразком.

• 1 грн = 100 коп, 100 · 1 коп = 1 грн,→1 коп = 1 грн: 100;
• 1 км = 1000 м, 1000 · 1 м = 1 км,→1м = 1 км: 1000;
• 1 год = 60 хв, 60 · 1 хв = 1 год,→1 хв = 1 год: 60.

Завдання 3

•  Запишіть у вигляді алгебраїчного виразу:

1. число грамів у а кілограмах;
2. число кілограм у р тоннах;
3. число кілограм у n центнерах;
4. число центнерів у b тоннах;
5. число грамів у k центнерах;
6. число грамів у х тоннах;
7. число метрів у а кілометрах;
8. число сантиметрів у t кілометрах;
9. число міліметрів у m сантиметрах;
10. число міліметрів у метрах;
11. число дециметрів у k кілометрах;
12. число міліметрів у а дециметрах;
13. число хвилин у m годинах;
14. число секунд у k хвилинах;
15. число секунд у d годинах.

•  Запишіть:

1. n центнерів у тоннах;
2. а кілограм у: а) центнерах, б) тоннах;
3. m кілометрів у: а) метрах, б) сантиметрах;
4. b хвилин у: а) секундах; б) годинах;
5. k секунд у: а) хвилинах; б) годинах;
6. р кілограма: а) грамах; б) тоннах;
7. t сантиметрів у: а) міліметрах; б) дециметрах; в) метрах;
8. а дециметрів у: а) міліметрах; б) метрах; в) кілометрах;
9. х грама а) кілограмах; б) центнерах; в) тоннах;
10. а тугриків у мугриках, якщо: а) за 1 тугрик дають 5 мугриків; б) за 1 мугрик дають 10 тугриків.

Далі потренуємося записувати порівняння у вигляді алгебраїчного рівняння. До цього наголосіть учням на такому.

 Якщо одне число більше (менше) за друге на число а, то до меншого треба додати а.

Якщо одне число більше (менше) від іншого у n разів, то менше треба множити на n.

Радимо учням записувати за таким планом.

1. Виокремити об’єкти порівняння й записати їх (у рядочок).
2. Поставити (олівцем) між ними знак порівняння («>» або «<»).
3. З’ясувати тип порівняння (зі сполучником «на» або сполучником «у») і, скориставшись правилами, наведеними раніше, замінити знаки «>» або «<» на знак рівності.

Завдання 4

• Запишіть порівняння у вигляді алгебраїчного рівняння.

1. Число а на 2 більше за число b.
2. Число b на 2 менше від числа а.
3. Півсума чисел а і с на 5 менша від числа b.
4. Піврізниця чисел m і n на с більша за b.
5. Три сьомих добутку чисел а і с на 2 більші за піврізницю чисел m і n.
6. Подвоєний добуток числа х і півсуми чисел а і с на 5 менший від двох третин числа с.
7. Піврізниця а і с більша за добуток чисел m і n на півсуму чисел m і b.
8. Число а у 2 рази більше за число b.
9. Число b у 2 рази менше від числа а.
10. Півсума чисел а і с у 5 разів менша від числа b.
11. Піврізниця чисел m і n у с разів більша за b.
12. Три сьомих добутку чисел а і с удвічі більші за піврізницю чисел m і n.
13. Подвоєний добуток числа х і півсуми чисел а і с у 5 разів менший від двох третин числа с.
14. Піврізниця а і с більша за добуток чисел m і n у b раз.
15. Потроєний добуток піврізниці чисел m і n на 5 більший від півсуми чисел а і с.
16. Потроєний добуток півсуми чисел m і n утричі менший за піврізницю чисел а і с.
17. Чотири п’ятих суми чисел х і n на 8 менші від потроєного добутку чисел m і b.
18. Різниця добутку чисел m і n та числа с більша у а разів за третину суми чисел а і b.
19. Дві третини суми чисел с і р на n перебільшують суму чисел m і n.
20. Різниця добутку чисел m і n та числа с у а разів менша від третини суми чисел а і b.

IV. Як формувати математичну модель умови задачі

Побудувати математичну модель умови задачі означає за допомогою математичної символіки записати умову задачі. Після такого «перекладу» зміст задачі записується значно коротше, полегшується пошук її розв’язання.

Змоделювати розв’язок текстової задачі означає виокремити в умові співвідношення порівняння й записати їх математичною мовою, тобто подати у вигляді виразу. Записувати співвідношення порівняння ми вже вміємо, залишилося навчатися виокремлювати такі твердження в умові задачі. Потренуємося в побудові їх математичної моделі.

Приклад 1. Сума двох чисел дорівнює 14, а різниця 10. Знайдіть ці числа.

Розв’язання. Позначимо шукані числа як х та y. Тоді математичну модель задачі можна записати у вигляді: знайти х та y, якщо х + y = 14, х – y = 10.

 Приклад 2. Іванка купила 20 зошитів у клітинку та лінію й сплатила с грн. Скільки зошитів у клітинку й скільки в лінію купила Іванка, якщо зошит у клітинку коштує а грн, а в лінію — b грн?

Розв’язання. Позначимо шукані величини як х та y відповідно. Тоді математична модель задачі має вигляд: знайти х та y, якщо х + y = 20, ах + by = с.

Часто трапляються задачі на десятковий вигляд числа.

Число, цифри якого у його розрядах позначено літерами, домовилися записувати з рискою над ним для того, щоб не плутати його з добутком. Наприклад,  має а сотень, b десятків та с одиниць, тобто  = 100а + 10b + с.

Зауважимо, що числа а, b, с цілі й можуть мати значення: а — від 1 до 9, а b та с — від 0 до 9.

Приклад 3. Знайдіть двозначне число, яке зменшиться на 9, якщо його цифри замінити місцями.

Розв’язання. Позначимо невідомі цифри як х та y. Математична модель задачі має такий вигляд: знайти  якщо 10х + y = 9 + 10y + x.

Завдання 5

• Позначте шукану величину як х і запишіть математичною мовою умову задачі (тобто сформуйте математичну модель задачі).

1. Якщо певне число зменшити у 3 рази, то отримаємо 20. Знайдіть це число.
2. Якщо до задуманого числа додати 5 й отриманий результат збільшити у два рази, то отримаємо 26. Яке число задумали?
3. Якщо певне число збільшити на 3, а отриманий результат зменшити у два рази, то отримаємо число у два рази більше від шуканого. Знайдіть це число.
4. Після того, як деяке число зменшили на два, а отриманий результат збільшили у b разів, отримали число с. Знайдіть це число.
5. Якщо задумане число зменшити у 2 рази і до отриманого результату додати 5, то матимемо число а. Яке число задумали?

• Позначте цифру десятків двозначного числа літерою х, а цифру одиниць — літерою y. Запишіть математичною мовою умову задачі (тобто сформуйте математичну модель задачі).

1. Знайдіть двозначне число, яке у два рази більше за суму своїх цифр.
2. Знайдіть двозначне число, яке на 26 більше добутку своїх цифр.
3. Якщо цифри двозначного числа поміняти місцями, то отримаємо число на 26 більше за вихідне. Знайдіть це число.
4. Якщо у задуманому двозначному числі замінити місцями цифри, то отримаємо число на 16 менше за вихідне. Яке число задумали?
5. Якщо у задуманому двозначному числі між цифрою десятків та одиниць дописати нуль, то отримаємо число на 90 більше за вихідне. Яке число задумали?

• Позначте невідомі величини літерами (наприклад, як х та y) і запишіть математичною мовою умову задачі.

1. Брат старший за сестру на 5 років, а разом їм 23 роки. Скільки років кожному з них?
2. Периметр прямокутника дорівнює 16 м. Знайдіть довжини його сторін, якщо одна з них на 3 м коротша за іншу.
3. У Петрика на 2 грн більше ніж у Ганнусі. Скільки грошей у кожного з них, якщо разом вони мають 24 грн?
4. Зошит на 2 грн дорожчий від авторучки. За зошит й авторучку разом сплатили 8 грн. Скільки коштує зошит?
5. Стрічку завдовжки 3 м розрізали на дві частини, одна з яких у 2 рази довша за іншу. Знайдіть довжини цих частин.
6. У бочці було 180 л води. Спочатку дівчата полили помідори, потім 60 л витратили на полив огірків. Тоді в бочці залишилося води в 3 рази менше, ніж вони витратили. Скільки води пішло на полив помідорів?

Висновки. Усе. Головне зроблено! Якщо ви пройшли з учнями вказаний шлях, то далі можна просто переходити до розв’язування текстових задач, наприклад, за збірником [3].

Порада. Наголосіть учням, що для більшості задач зручно позначати літерами x, y, z… саме ті величини, значення яких треба знайти за умовою задачі. А далі шукати в умові твердження для складання співвідношень.

Про особливості розв’язування задач на відсотки,  використання графічного тлумачення умови тощо поговоримо пізніше в окремих статтях.

Використані джерела

• Апостолова Г. В., Бакал О. П. Логічними стежинками математики, 5—9 класи. Київ: Генеза, 2014.
• Апостолова Г. В. Математика, 6—11 класи. Працюємо на множині цілих чисел. Київ: Генеза, 2011.
• Збірник задач з математики для вступників до вишів: пер. з рос. / В. К. Єгерєв, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемський та ін.; за ред. М. І. Сканаві. Київ: Онікс, 2005.

Галина АПОСТОЛОВА, кандидатка фізико-математичних наук,

професор КВНЗКОР «Академія неперервної освіти», Київська обл.

газета “Математика”, №7 квітень 2018