Пропонована розробка — огляд сучасного онлайн-сервісу Classtime, який можна використовувати для підвищення ефективності як уроку загалом, так і його окремих етапів. Автор дає поради з власного досвіду щодо застосування Classtime під час вивчення теореми про три перпендикуляри.
Що таке Classtime?
Classtime — це онлайн-помічник учителя, що збагачує урок миттєвою візуалізацією рівня розуміння та прогресу всього класу наживо. Цей помічник може швидко перевіряти знання учнів, залучати дітей до командної роботи, працювати над помилками, допомагати готуватися до ЗНО та робити підготовку до уроку набагато ефективнішою.
Що потрібно для роботи в сервісі Classtime?
- Зареєструватись на платформі.
- Створити групу питань.
- Провести сесію на уроці.
Для використання сервісу потрібен Інтернет, комп’ютер (ноутбук, планшет) у вчителя та смартфон в учнів.
Як створити групу питань?
- Зайдіть у бібліотеку.
- Натисніть «Нова Група питань» та введіть назву.
- Створіть перше запитання:
• введіть текст запитання;
• введіть додаткові деталі, якщо вони потрібні;
• оберіть тип питання;
• введіть варіанти відповідей та оберіть правильний. - Створюйте більше запитань.
Як провести сесію на уроці?
Коли запитання готові, можна розпочинати сесію на уроці. Для цього потрібно:
- Натиснути на «Почати Нову Сесію» з конкретної групи запитань.
- Запросити учнів приєднатись. Для цього потрібно поширити з учнями код сесії або посилання. З кодом сесії учні заходять з головної сторінки, вводячи його в поле «учням». Його можна написати, наприклад, на дошці. З посиланням учні одразу потраплять до сесії.
- Активувати всі чи окремі запитання.
- Cпостерігати за відповідями.
- Показати правильні відповіді учням.
Тема. Теорема про три перпендикуляри
Мета: засвоєння теореми про три перпендикуляри; сформувати вміння розв’язувати завдання, що передбачають застосування теореми про три перпендикуляри до знаходження відстані від точки до прямої; сприяти засвоєнню властивості точки, рівновіддаленої від сторін многокутника; розвивати просторову уяву, логічне мислення, пам’ять та увагу; виховувати культуру мовлення і математичних записів, охайності та уважності під час побудови рисунків, свідоме ставлення до навчання.
Обладнання: комп’ютер, інтерактивна дошка, геометричне приладдя, роздаткові матеріали.
Перебіг уроку
I. Організаційний етап
Учитель. Феофан Прокопович у книзі «Філософські твори. Геометрія» писав: «Величезний світ, створений богом і природою, відкривається очам нашого розуму завдяки геометрії. Геометрія здається людям найпрекраснішою наукою ще й тому, що вона робить цілком ясними, зрозумілими й правдоподібними ті явища, у можливість яких через їхню неймовірність люди не вірять». Сьогодні на уроці ми з’ясуємо, наскільки багатий і дивний світ Геометрії.
II. Перевірка домашнього завдання
Учитель. Відомий фізіолог І. П. Павлов писав: «Ніколи не беріться за подальше вивчення, не засвоївши попереднього». Отже, з’ясуємо, наскільки ви компетентні в тому матеріалі, що вивчали, склавши тест.
(Тестування відбувається за допомогою сервісу Classtime. До електронної версії тесту можна перейти, знайшовши групу питань «Тест 1. Перевірка домашнього завдання» через пошук на сайті. Щоб використати цю групу питань, необхідно додати її до своєї Бібліотеки).
III. Повідомлення теми, мети і завдань уроку
Учитель. Одним із найважливіших етапів розв’язування стереометричних задач є побудова й обґрунтування відстаней від точки до прямої та площини. Однією із центральних теорем стереометрії є теорема про три перпендикуляри, що дає теоретичну базу для таких обґрунтувань.
Теорема про три перпендикуляри, яка має в наш час дуже велике значення, в «Началах» Евкліда не міститься. Вона була доведена математиками Ближнього і Середнього Сходу (XIII ст.). Її доведення є в «Трактаті про повний чотирикутник» Насір ад-Діна ат-Тусі й в тригонометричному трактаті його
анонімного попередника. У Європі ця теорема була вперше сформульована Луї Бертраном (1731—1812) і доведена в «Елементах геометрії» Андієна-Марі Лежандра (1794).
Отже, завдання уроку: вивчити теорему про три перпендикуляри, навчитись застосовувати її до розв’язування задач, що передбачають застосування поняття відстаней у просторі.
IV. Вивчення нового матеріалу та засвоєння нових понять і знань
Теорема про три перпендикуляри (картки 1—3).
Учитель. Теорема про три перпендикуляри звучить так:
Якщо пряма, яка належить площині, перпендикулярна до проєкції похилої до цієї площини, то вона
перпендикулярна й до самої похилої. І навпаки, якщо пряма, яка належить площині, перпендикулярна до похилої до цієї площини, то вона перпендикулярна й до проєкції похилої на цю площину.
Доведемо першу частину теореми.
Доведення
Нехай пряма а, яка належить площині α , перпендикулярна до проєкції ВС похилої АС (рис. 1). Доведемо, що a ⊥ AC.
Маємо: AB ⊥ a, a ⊂ a, отже AB ⊥ a.
Отримали, що пряма а перпендикулярна до двох прямих АВ і ВС площини АВС, які перетинаються; отже, a ⊥ (ABC). Оскільки AC ⊂ (ABC), то a ⊥ AC.
Доведення другої частини теореми аналогічне доведенню першої частини. Теорема про три перпендикуляри містить дві теореми: пряму й обернену. Формулювання взаємно обернених теорем можна об’єднати в одне за допомогою словосполучення «тоді й тільки тоді». Наприклад, теорему про три перпендикуляри можна сформулювати так:
Пряма, яка належить площині, перпендикулярна до похилої до цієї площини тоді й тільки тоді, коли ця пряма перпендикулярна до проєкції похилої.
Учитель. Ділимося на три групи по рядах і кожен ряд отримує своє завдання.
Дізнайтеся більше
Теорема про три перпендикуляри буде справедливою для трикутної піраміди. Переконаємось у цьому на прикладі задачі. Основа висоти SO трикутної піраміди лежатиме на висоті CD основи тільки тоді, коли бічне ребро SC перпендикулярне до сторони основи AB (рис. 5). Це лише інше формулювання теореми про три перпендикуляри.
Задача 1
Точка М не належить площині опуклого многокутника й рівновіддалена від усіх прямих, які містять його
сторони. Проєкцією точки М на площину многокутника є точка О, яка належить многокутнику. Доведіть,
що точка О — центр вписаного кола многокутника.
Розв’язання
Проведемо доведення для трикутника. Для інших многокутників доведення буде аналогічним. Опустимо з точки О перпендикуляри ОN, OK і OE відповідно на прямі AB, BC і CA (рис. 6). Сполучимо точку М з точками E, K і N.
Відрізок ON є проєкцією похилої MN на площину ABC. За побудовою ON ⊥ AB. Тоді за теоремою про три перпендикуляри отримуємо: MN ⊥ AB. Аналогічно можна довести, що MK ⊥ BC i ME ⊥ CA. Так, довжини відрізків MN, MK і ME відстані від точки M до прямих AB, BC і CA відповідно. За умовою MN = MK = ME.
У прямокутних трикутників MON, MOK, MON катет MO спільний, гіпотенузи рівні. Отже, ці трикутники є рівними за катетом і гіпотенузою. З рівності цих трикутників випливає, що ОN = ОK = ОE.
Довжини відрізків ОN, ОK і ОE є відстанями від точки О до прямих, які містять сторони трикутника ABC. Ми показали, що ці відстані є рівними. Оскільки точка О належить трикутнику ABC, то точка О — центр вписаного кола трикутника ABC.
Графічні завдання
(Якщо клас оснащений інтерактивною дошкою, завдання виконують із її використанням. Увімкнено режим пера. Учні, взявши інтерактивне перо і вибравши певний колір у «Панелі інструментів», виконують побудову. Якщо інтерактивної дошки немає, можна використати картки із завданнями.)
IV. Формування вмінь та навичок
Учитель. Застосовуючи теорему про три перпендикуляри, слід пам’ятати: якщо точка А однаково віддалена від усіх сторін многокутника, то основа перпендикуляра, проведеного із цієї точки до площини многокутника, також однаково віддалена від його сторін, тобто є центром вписаного в многокутник кола.
Розв’язування задач
Учитель. Ви будете розв’язувати задачі в групах. (Перебіг розв’язання і результати коментують і обговорюють).
V. Закріплення вивченого матеріалу
(Тестування відбувається за допомогою сервісу Classtime. Знайти групу питань «Застосування теореми про три перпендикуляри» можна через пошук на сайті. Щоб використати цю групу питань, необхідно додати її до своєї Бібліотеки. Паперовий варіант тесту ви можете знайти в додатку 4)
VII. Підбиття підсумків
Учитель. Курс геометрії 10-го класу присвячений вивченню властивостей многогранників і тіл обертання. Сьогодні ми заклали підґрунтя для успішного засвоєння цих тем.
Теорему про три перпендикуляри ти пригадай!
Похила, її проєкція перпендикулярні до прямої — запам’ятай!
Якщо будуєш дах — її згадай;
З нею відстань від точки до прямої — відшукай!
Вона в стереометрії — центральна;
Для успішної здачі ЗНО — актуальна!
VIІI. Домашнє завдання
Вивчити теоретичний матеріал.
Використані джерела
- Геометрія: проф. рівень: підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закл. / Бевз Г. П. та ін. Київ: Генеза, 2010.
- Геометрія: проф. рівень: підруч. для 10 кл. закл. загальн.серед. осв. / Мерзляк А. Г. та ін. Харків: Гімназія, 2018.